Circular units of a compositum of quadratic fields
Tato práce se zabývá studiem grupy kruhových jednotek (v notaci LaTeXu) $C$ v kompozitu kvadratických těles $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\dots,\sqrt{d_s}),$ kde $d_1,\, \dots,\, d_s$ jsou lichá celá čísla nedělitelná druhou mocninou prvočísla a zároveň $d_1\equiv 3\, (\mathrm{mod} \,4)$. V hlavní části...
Uloženo v:
| Hlavní autor: | |
|---|---|
| Další autoři: | |
| Typ dokumentu: | VŠ práce nebo rukopis |
| Jazyk: | Angličtina |
| Vydáno: |
2009
|
| Témata: | |
| On-line přístup: | http://is.muni.cz/th/12324/prif_d/ |
| Shrnutí: | Tato práce se zabývá studiem grupy kruhových jednotek (v notaci LaTeXu) $C$ v kompozitu kvadratických těles $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\dots,\sqrt{d_s}),$ kde $d_1,\, \dots,\, d_s$ jsou lichá celá čísla nedělitelná druhou mocninou prvočísla a zároveň $d_1\equiv 3\, (\mathrm{mod} \,4)$. V hlavní části práce (kapitola 2) zkonstruujeme bázi grupy $C$, spočítáme index této grupy v grupě všech jednotek tělesa $k$ a získáme odhad pro dělitelnost tohoto indexu mocninou prvočísla $2.$ Na základě těchto výsledků navíc můžeme získat odhad dělitelnosti počtu tříd ideálů maximálního reálného podtělesa tělesa $k$ mocninou $2,$ jestliže index $e$ větvení dvojky v $k/\mathbb{Q}$ je roven $1$ nebo $2$. V kapitole 3 se zabýváme studiem grupy $C$ v posledním možném případě, tedy pokud index větvení $e$ v $2$ je roven $4$. Označme $W$ grupu všech odmocnin z jedné tělesa $k$ a $G=\Gal(k/\Q)$. Klíčová vlastnost grupy $C$ umožňující řešit případ $e\le2$ je, že pro každé $\varepsilon\in C$ a $\sigma\in G$ exis. This thesis studies the group of circular units (in LaTeX notation) $C$ of a compositum of quadratic fields $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_1},\dots,\sqrt{d_s}),$ where $d_1,\, \dots,\, d_s$ are square-free odd integers and $d_1\equiv 3\, (\mathrm{mod} \,4)$. In the main part (Chapter 2) we construct a basis of $C,$ compute the index of $C$ in the full group of units of $k$ and derive a lower bound for the divisibility of this index by a power of $2.$ These results give a lower bound for the divisibility of the class number of the maximal real subfield of $k$ by a power of $2$ if the ramification index $e$ at $2$ is equal to $1$ or $2$. In Chapter 3 we describe the group $C$ in the last case that has not been covered yet, namely in the case when the ramification index $e$ of $2$ equals $4$. Let $W$ be the group of roots of unity in $k$ and let $G=\Gal(k/\Q)$. The key property of the group $C$ allowing to solve the case $e\le2$ is that for any $\varepsilon\in C$ and any $\sigma\in G$ there is $\. |
|---|---|
| Popis jednotky: | Vedoucí práce: Ladislav Skula. |
| Fyzický popis: | 1 CD-ROM. |